so in E: x=(-1 2 5) + r (3 -1 -3) + t( 2 0 2) Koordinatenform:
x1+3x2+x3=4????^^'
Hab da x
1 + 6x
2 - x
3 = 6...
Und E1: x= 3x
1+2x
2+x
3=6 ist in Parameterform tatsächlich E1: (x
1 x
2 x
3)= (0 0 6) +s(1 0 -3) +t(0 1 -2)
Die beiden Formen sind nicht eindeutig, heißt also, dass mehrere verschiedene Ergebnisse richtig sein können...als Probe kannst du einfach ein paar Punkte, die auf der Ebene liegen müssen, in die Gleichung einsetzen.
Nur der Vollständigkeit halber...
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Erstmal hast du n kleinen Vorzeichenfehler, die Ebenengleichung in Koordinatenform ist E1:x = (-1 2 5) + r(3 -1 -3) + s(2 0 -2)
Bei der Koordinatenform macht man sich einfach zunutze, dass man einen Stützvektor braucht (damit die Ebene nicht immer durch den Nullpunkt läuft) und zwei Spannvektoren (die die Ebene äh...aufspannen).
In dem Fall nimmt man einfach den Vektor, der vom Nullpunkt auf A geht (also eben die Koordinaten auf A) und als Spannvektoren nimmt man dann B-A und C-A (oder A-C und A-B)...natürlich kann man z.B. auch B als Stützvektor nehmen und dann C-B und A-B als Spannvektoren usw...gibt also mehr als ein richtiges Ergebnis.
Um von der Koordinatenform auf eine (jep, es gibt auch hier mehrere Lösungen
) Parameterform zu kommen, schmeißt man die Variablen s und t einfach aus nem linearen Gleichungssystem raus, ich rechne einfach mal meinen Lösungsweg vor:
(I) x1 = -1 + 3r + 2t
(II) x2 = 2 - r
(III) x3 = 5 - 3r - 2t
(II) lässt sich zu r = 2- x2 umformen, setzen wir das mal in (I) und (II) ein:
(I) x1 = -1 + 3(2-x2) + 2t
(III) x3 = 5 -3(2-x2) -2t
So sind wir schonmal das r los. Praktischerweise braucht man bei der Aufgabe nur noch (I) und (III) zu addieren:
(I)-(III) x1+x3 = 4
fertig. Nabenbei ust auch x2 weggefallen, dann kommt es nicht in der Paraneterform vor. Kannst aber auch x1+0x2+x3 = 4 schreiben, wenn dir das lieber ist.
Zur b: Berechne erstmal die Koordinatengleichung von E1, weißt ja jetzt, wie das geht.
Die Spurpunkte liegen immer auf den Koordinatenachsen, also sind zwei Parameter immer 0. Such dir also zwei Stück aus, setz sie als 0 in die Koordinatengleichung ein. Dann bleibt ein Parameter übrig, den du dann ausrechnest. Die anderen beiden Punkte bestimmst du, indem du einfach ein anderes Paar von Parametern = 0 setzt.
Und die Spurgeraden...eine Gerade zu bestimmen, die durch zwei Punkte geht, kriegst du wohl auch hin.
Zur c:
Wenn der Richtungsvektor einer Geraden zu den Spannvektoren der Ebene linear abhängig ist, ist die Gerade parallel zur Ebene. Wenn irgendein Punkt der Geraden (z.B. der Stützvektor) auf der Ebene liegt, dann ist die Gerade nebenbei noch direkt auf der Ebene.
Wenn der Richtungsvektor der Geraden nicht linear abhängig von den Spannvektoren der Ebene ist, dann geht die Gerade durch die Ebene und den Schnittpunkt bestimmst du dann durch Gleichsetzen der Gerade und der Ebene.
Edit:
also g1 schneidet im Punkt (7/3 -4/3 1/3)(könnt ich das denn jetz eigtl *3 rechnen?) die Ebene und g2 geht an der Ebene vorbei. ?
Und das nächste hab ich noch nicht
Mach doch einfach die Probe: Setz den Punkt in die Geradengleichung und die Ebenengleichung ein. Wenn bei beidem was vernünftiges rauskommt (also nicht 2 = 3 oder so), dann liegt der Punkt sowohl in der Ebene als auch auf der Geraden und ist somit der Schnittpunkt. Falls du mit der Parameterform von E1 gerechnet hast, ist die Lösung wahrscheinlich falsch, weil die Parameterform nen Vorzeichenfehler hatte (s.o.)
Den Punkt solltest du aber nicht mit 3 multiplizieren, weil du dann natürlich nen anderen Punkt rauskriegst.
